万能代换积分是一种在求解复杂不定积分时常用的技巧，通过将积分变量进行替换，使得原本复杂的积分问题转化为简单的积分。以下是一些常见的万能代换公式及其应用：

三角函数代换

令 $u = \tan\frac{x}{2}$，则：

\[

\sin x = \frac{2u}{1 + u^2}, \quad \cos x = \frac{1 - u^2}{1 + u^2}, \quad dx = \frac{2}{1 + u^2} \, du

\]

令 $t = \sin x$，则：

\[

dx = \cos x \, dx = \sqrt{1 - t^2} \, dt

\]

令 $t = \cos x$，则：

\[

dx = -\sin x \, dx = -\sqrt{1 - t^2} \, dt

\]

指数函数代换

令 $u = e^x$，则：

\[

dx = e^x \, du

\]

令 $u = e^{-x}$，则：

\[

dx = -e^{-x} \, du

\]

对数函数代换

令 $u = \ln x$，则：

\[

dx = \frac{1}{x} \, du

\]

有理函数代换

令 $t = \frac{1}{x}$，则：

\[

dx = -\frac{1}{x^2} \, dt

\]

注意事项

在使用万能代换公式时，需要确保被代入的新变量能够完全替代原被积函数中的函数，而不会带来更多的麻烦。

代换后，需要仔细计算新的积分表达式，并确保最终结果的正确性。

实际应用

万能代换公式在高等数学、微积分等领域有广泛应用，可以大大简化积分计算的过程，提高计算的效率和准确性。掌握万能代换公式，可以更加灵活地运用不定积分的方法，解决各种数学问题。

希望这些公式和技巧能帮助你更好地理解和应用万能代换积分。